任意三角形内接正三角形的极值
2016-06-26 07:06:06| 分类：
有难度的几何题
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为了便于下文叙述，我们规定：∠BAC≥∠ABC≥∠ACB，正△DEF的边长为a。
如下图：分别以△ABC的三边为边，向形外作正三角形BCP , ACQ , ABR，则三直线AP , BQ , CR交于同一点I，并形成以I为顶点的六个相等的角，每个角等于60°（证明略）。点I称为△ABC的正等角中心，当∠BAC＜120°时，点I在△ABC内部；当∠BAC=120°时，点I与点A重合；当∠BAC＞120°时，点I在△ABC外。易证EF与AP，DF与BQ，DE与CR这三对直线的夹角均相等，现将这个夹角记为φ（0＜φ≤90°）。下面针对∠BAC的大小进行分类讨论：
1、当∠BAC＜120°时，
①∠ABC≤60°时，如下图：
2、当∠BAC=120°时，点I与点A重合，此时点D是一定点，即∠BAC的平分线与BC的交点。对于a的极小值结论与∠BAC＜120°时相同，当EF落在AB或AC边上时a值相等且为极大值。如下图：
3、当∠BAC＞120°时，点I在△ABC外，如下图：
至此讨论完毕。下面总结一下：
对于任意△ABC，不妨设∠BAC为最大内角，M为BC边上的中点，点P为以BC为边向外作正三角形的第三个顶点。那么：
1、当△ABC极大的内接正三角形满足的条件：一顶点与A重合，一边落在AB、AC中较小者上；
△ABC极大的内接正三角形满足的条件：一顶点与B（或C）重合，一边落在BC上。上述两种情形下的
△ABC极小内接正三角形满足的条件相同，均为两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
且∠BAM及
∠CAM均小于或等于150°时，△ABC极大的内接正三角形满足的条件：一顶点与A重合，一边落在AB、AC中较大者上；△ABC极小内接正三角形满足的条件：两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
3、
△ABC极大的内接正三角形满足的条件：一顶点与A重合，一边落在AB、AC中较大者上；
△ABC极小的内接正三角形满足的条件：一顶点与A重合，一边落在AB、AC中较小者上。
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