为了便于下文叙述,我们规定:∠BAC≥∠ABC≥∠ACB,正△DEF的边长为a。
如下图:分别以△ABC的三边为边,向形外作正三角形BCP , ACQ , ABR,则三直线AP , BQ , CR交于同一点I,并形成以I为顶点的六个相等的角,每个角等于60°(证明略)。点I称为△ABC的正等角中心,当∠BAC<120°时,点I在△ABC内部;当∠BAC=120°时,点I与点A重合;当∠BAC>120°时,点I在△ABC外。易证EF与AP,DF与BQ,DE与CR这三对直线的夹角均相等,现将这个夹角记为φ(0<φ≤90°)。下面针对∠BAC的大小进行分类讨论:
1、当∠BAC<120°时,
①∠ABC≤60°时,如下图:
2、当∠BAC=120°时,点I与点A重合,此时点D是一定点,即∠BAC的平分线与BC的交点。对于a的极小值结论与∠BAC<120°时相同,当EF落在AB或AC边上时a值相等且为极大值。如下图:
3、当∠BAC>120°时,点I在△ABC外,如下图:
至此讨论完毕。下面总结一下:
对于任意△ABC,不妨设∠BAC为最大内角,M为BC边上的中点,点P为以BC为边向外作正三角形的第三个顶点。那么:
1、当△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较小者上;
当△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与B(或C)重合,一边落在BC上。上述两种情形下的
△ABC极小内接正三角形满足的条件相同,均为两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
且∠BAM及
∠CAM均小于或等于150°时,△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较大者上;△ABC极小内接正三角形满足的条件:两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
3、
△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较大者上;
△ABC极小的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较小者上。
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