注册 登录  
 加关注
查看详情
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

数学&华容道

Mathematics & klotski

 
 
 

日志

 
 

任意三角形内接正三角形的极值  

2016-06-26 07:06:06|  分类: 有难度的几何题 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 为了便于下文叙述,我们规定:∠BAC≥∠ABC≥∠ACB,正△DEF的边长为a。
       如下图:分别以△ABC的三边为边,向形外作正三角形BCP , ACQ , ABR,则三直线AP , BQ , CR交于同一点I,并形成以I为顶点的六个相等的角,每个角等于60°(证明略)点I称为△ABC的正等角中心,当∠BAC<120°时,点I在△ABC内部;当∠BAC=120°时,点I与点A重合;当∠BAC>120°时,点I在△ABC外。易证EF与AP,DF与BQ,DE与CR这三对直线的夹角均相等,现将这个夹角记为φ(0<φ≤90°下面针对∠BAC的大小进行分类讨论:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道

1、当∠BAC<120°时,
∠ABC≤60°时,如下图:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
  
∠ABC>60°时,如下图:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 

 下面利用位似作图法作出极小正△DEF:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 
2、当∠BAC=120°时,点I与点A重合,此时点D是一定点,即∠BAC的平分线与BC的交点。对于a的极小值结论与∠BAC<120°时相同,当EF落在AB或AC边上时a值相等且为极大值。如下图:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 

3、当∠BAC>120°时,点I在△ABC外,如下图:
任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 


任意三角形内接正三角形的极值 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 

至此讨论完毕。下面总结一下:
        对于任意△ABC,不妨设∠BAC为最大内角,M为BC边上的中点,点P为以BC为边向外作正三角形的第三个顶点。那么:
       1、当
∠BAC≤120°且
∠ABC与
∠ACB均小于或等于60°
时,
△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较小者上;
∠BAC≤120°且
∠ABC(或
∠ACB)
>60°
时,
△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与B(或C)重合,一边落在BC上。上述两种情形下的
△ABC极小内接正三角形满足的条件相同,均为两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
       2、当
∠BAC大于120°
∠BAM及
∠CAM均小于或等于150°时,△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较大者上;△ABC极小内接正三角形满足的条件:两端点分别落在AB、AC上的边垂直于AP。
        3、
∠BAM或
∠CAM大于150°时,
△ABC极大的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较大者上;
△ABC极小的内接正三角形满足的条件:一顶点与A重合,一边落在AB、AC中较小者上。


 
 
  评论这张
 
阅读(118)| 评论(0)
推荐

历史上的今天

在LOFTER的更多文章

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018