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三角形内的极值点

2016-06-20 19:19:17| 分类：数学趣题 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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设P是△ABC内（含边）一点，下面分述满足以下条件的极值点：

1、到三角形三顶点的距离之和最小。

2、到三角形三顶点的距离的平方和最小。

3、到三角形三边所在直线的距离之和最小。

4、到三角形三边所在直线的距离的平方和最小。

1、当PA+PB+PC最小时，点P叫做△ABC的费马点。

当△ABC最大内角小于120°时，费马点是对三边张角均为120°的点；

当△ABC最大内角大于或等于120°时，费马点为最大内角的顶点。

证明略。

最大角小于120°的三角形费马点的尺规作图：

2、当PA²+PB²+PC²最小时，点P是△ABC的重心，即三条中线的交点。

证明：设G是△ABC的重心，熟知：PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²，

显然当PG=0，即当P是△ABC的重心时PA²+PB²+PC²最小。

3、当点P到三角形三边所在直线的距离之和最小时，包以下四种情况：

①不等边三角形,满足条件的点是最大内角的顶点.

②底边大于腰的等腰三角形，满足条件的点是顶角的顶点.

③底边小于腰的等腰三角形，满足条件的点是底边上任意一点。

④等边三角形,满足条件的点是三角形内（含边）任意一点。

证明：主要证明不等边三角形，等腰三角形略。

4、当点P到三角形三边所在直线的距离的平方和最小时，点P是△ABC的陪位重心（重心的等角共轭点）

陪位重心性质的证明：三角形的陪位重心到三边的距离之比等于对应三边的比。

陪位重心尺规作图：

方法一：先作△ABC的重心，再作重心的等角共轭点。

方法二：如下图所示，先作△ABC的外接圆，再过顶点作切线，余下过程看图：

方法二的证明：

方法二另证：

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