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三角形内的极值点  

2016-06-20 19:19:17|  分类: 数学趣题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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设P是△ABC内(含边)一点,下面分述满足以下条件的极值点:

1、到三角形三顶点的距离之和最小。

2、到三角形三顶点的距离的平方和最小。

3、到三角形三边所在直线的距离之和最小。

4、到三角形三边所在直线的距离的平方和最小。


1、当PA+PB+PC最小时,点P叫做△ABC的费马点。

当△ABC最大内角小于120°时,费马点是对三边张角均为120°的点;

当△ABC最大内角大于或等于120°时,费马点为最大内角的顶点。

证明略。

最大角小于120°的三角形费马点的尺规作图:

三角形内的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道

2、当PA2+PB2+PC2最小时,点P是△ABC的重心,即三条中线的交点。

证明:设G是△ABC的重心,熟知:PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2

显然当PG=0,即当P是△ABC的重心时PA2+PB2+PC2最小。

3、当点P到三角形三边所在直线的距离之和最小时,包以下四种情况:

①不等边三角形,满足条件的点是最大内角的顶点.

②底边大于腰的等腰三角形,满足条件的点是顶角的顶点.

③底边小于腰的等腰三角形,满足条件的点是底边上任意一点。

④等边三角形,满足条件的点是三角形内(含边)任意一点。

证明:主要证明不等边三角形,等腰三角形略。

三角形内(含边)的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道

 4、当点P到三角形三边所在直线的距离的平方和最小时,点P是△ABC的陪位重心(重心的等角共轭点)

三角形内(含边)的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
陪位重心性质的证明:三角形的陪位重心到三边的距离之比等于对应三边的比。
三角形内的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 
陪位重心尺规作图:
方法一:先作△ABC的重心,再作重心的等角共轭点。
方法二:如下图所示,先作△ABC的外接圆,再过顶点作切线,余下过程看图:
三角形内(含边)的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
  
方法二的证明:
三角形内的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 方法二另证:

三角形内的极值点 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 
 
 

 

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