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将等边三角形割拼成等积的正方形  

2016-04-02 21:33:45|  分类: 数学趣题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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     将等边三角形割补成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
       几何图形的平面分割问题是要求将多边形分割成尽可能少的块数来拼成另一种指定的几何图形。根据由伟大的德国数学家希尔伯特(David Hilbert)最早证明的一个定理,任何一个多边形都可以通过分割成有限数量的小块,来转换成等面积的另一种多边形。尽管希尔伯特的方法可以保证吧一种多边形分割成有限数量的小块来转换成另一种多边形,但需要的小块数量很大。要将这件事完成得简洁一些,则要求分割的块数尽可能少,这往往是极难确定的。
       亨利·杜德尼(Henry Ernest Dudeney,1857.4.10~1930.4.23),英国19世纪末20世纪初最伟大与知名的趣题设计家与娱乐数学家,与同时期的美国趣题专家萨姆·劳埃德(Sam Loyd)齐名。所设计与发表的趣题涉猎代数、几何、逻辑等多个数学领域,尤其在几何分割问题上取得了不寻常的成功。他最著名的几何学发现是将一个正三角形分割成四块并拼成一个正方形的方法。他共出版有六部关于趣题的书籍(有两部是其去世后他人整理汇编的集子),其中最负盛名的是《坎特伯雷趣题集The Canterbury Puzzles》(1907)与《数学中的娱乐Amusements in Mathematics》(1917)。亨利·杜德尼在这种古怪的几何学艺术上取得了极大的成就,常常比长期保持的纪录高出一筹。
        正三角形剖分成四块再拼成正方形的方法据说这是亨利·杜德尼1902年发现并于1905年5月17日将这个问题在伯灵顿大厦向皇家学会作了报告,又于下一个月在皇家科学研究所作了报告,采用的是更一般的形式:”一个新的图形重合问题:证明一个等边三角形可被分割成四块,然后重新拼合成一个正方形,附关于一种将所有直线三角形通过剖分变换成正方形的一般方法的几个例子。”如文首的动态图所示,把四个小块在三个顶点处相接,就形成一个链,按不同的方向折合就可以得到等边三角形或正方形。杜德尼把这个图形用红木和铜铰链制成下图所示的模型,在伦敦皇家学会的会议上做演示。
将等边三角形割补成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
          


将等边三角形割补成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
等边三角形分割线的尺规作图:
1.取AC的中点D,在BC上作点E,使DE等于BD、AD的比例中项,连结DE。
2.在线段EC上取点H,使EH=AD。
3.取AB的中点F,作FG⊥ED于点G,HI⊥ED于点I。
作图动态演示(几何画板):
将等边三角形割拼成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 
 
附:线段a、b比例中项的尺规作图法:
将等边三角形割拼成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
     

若所分割的等边三角形边长为2,则图形中的各线段长如下图所示:

将等边三角形割补成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
         设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson带来的D*Table,完美地向这个解答进行了致敬,4个被铰链连在一起的异型小茶几,其中囊括了架子、抽屉、书架和杯槽。你可以将它们就这么弯折着摆在客厅,组合成无数颇具现代感的造型,为空间设计带来不一样的装饰效果,当然,也可以用来完成亨利同学的完美变换,只需要让它们顺时针或者逆时针地拼合在一起,它们就能在正方形和等边三角之间完美切换。
将等边三角形割补成等积的正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 
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