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期待几何学的复兴  

2011-09-13 20:41:52|  分类: 教育 |  标签: |举报 |字号 订阅

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期待几何学的复兴

叶中豪

  在数学的大花园里,几何是最美丽的部分。它既有优美的图形,
令人赏心悦目;又有众多的问题,供大家思考探索。它的论证严谨而
优雅,命题美丽而精致。入门不难,魅力无限,因此吸引了大批业余
的数学家与数学爱好者(包括叱咤风云的拿破仑一世),在这里大显
身手。一些历史上有名的大数学家,像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、
高斯他们,也禁不住在这里留连驻足,为花园增添奇葩。

  伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道:

  “在我12岁时,我经历了另一种性质完全不同的惊奇:这是在一
个学年开始时,当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历
的。这本书里有许多断言,比如,三角形的三个高交于一点,它们本
身虽然并不是显而易见的,但是可以很可靠地加以证明,以致任何怀
疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印
象。……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前,有位叔叔曾
经把毕达哥拉斯定理告诉了我。经过艰巨的努力以后,我根据三角形
的相似性成功地‘证明了’这条定理。……对于第一次经验到它的人
来说,在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度,就像希腊人
在几何学中第一次告诉我们的那样,是足够令人惊讶的了。”(《爱
因斯坦文集(第一卷)》)

  面对几何世界这笔丰厚的遗产,难怪H·G·弗德会说出这样的话:
“谁看不起欧氏几何,谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。”

  几何学历史悠久,早在古希腊时代就逐渐形成一门独立的学科,
无论在实际材料方面,还是在某些理论基础的奠定方面,都得到了光
辉的发展。古代希腊的许多数学家,如泰勒斯(约公元前640-546年)、
毕达哥拉斯(约公元前582-493年)、希波克拉底(约公元前430年)、
柏拉图(约公元前427-347年)、欧几里得(约公元前330-275年)
诸人,对几何学都有莫大的功绩。欧几里得搜集当时所有已知的初等
几何材料(包括他自己的发现),按照严密的逻辑系统,编成《几何
原本》十三卷,后世誉为几何学的杰作。

  几何学内容丰富。美国数学家E·T·贝尔说过:“几何学的浩瀚
的文献比算术和代数的加在一起还要多,其广泛的程度至少和分析的
文献相当,这是比数学的其他部门更有意思的、然而是半遗忘的东西
组成的丰富的宝库,但是匆忙的一代人无暇去欣赏它。”整个欧氏几
何确实像是一座丰厚的宝藏,经过两千多年的采掘,大部分菁华已经
落入人类的手中。到了19世纪后半叶,又涌现出了一大批瑰宝,发现
了数以百计的新定理,形成了所谓的近代欧氏几何学,像Torricel
li-Fermat点,Nagal点,Gergonne点,Brocard点和圆,Lemoine点和
圆,九点圆,Euler线,Steiner点之类的独特对象都得到了深入的探
索和研究。正如M·克莱因在《古今数学思想》中所指出的:“这些成
果,或许重要性不大,然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无
穷无尽的丰富多彩。”

  然而,数学也与服装一样,讲究时尚。“20世纪的几何学家早就
虔诚地把这些珍品送进了几何博物馆,历史的尘埃很快地把这些珍品
的光泽湮没”(《数学的发展》,第323页)。随着时间的推移,几何
在上个世纪的发展遭受挫折,曾一度步入低谷。布尔巴基学派的代表
人物之一狄多涅,在《我们应该讲授新数学吗?》一文中提出过“欧
几里得滚蛋”的说法,试图推倒欧氏几何在数学课程中的基础地位,
其影响波及面广,以致在一些西方国家课程改革中欧氏几何体系不复
存在,而被其它的一些结构观念所取代。但他的主张当即就遭到许多
人的非议,引起了激烈的争论。法国数学家托姆(突变理论的创始人,
拓扑学家,菲尔兹奖获得者)认为“几何思维可说是人类理性活动的
正常发展中不能省略的阶段”,并建议恢复欧氏几何体系的教学。经
过近半个世纪来的实践和反思,人们对此有了重新认识。1995年《美
国数学月刊》刊出了“三角形几何学的兴起、衰落和可能的东山再起:
微型历史”一文,全面分析了“一个被历史的尘埃和灰烬所掩埋的科
目能够东山再起吗?”这一饶有意趣的议题,并得出了正面的回答。
作者坚信:三角形几何过去是为欧几里得精神作证明的实践的基地,
如今已变成了决定性、证明和发现定理策略的实验基地。由计算机带
来的三角形几何的变革,以及其它领域中的这种变革,已经重新证实
和加强了人类在“做数学”美妙活动中的根本作用。

  1998年美国科学年会上,学者们一致认为21世纪的教育应把几何
学放在头等重要的地位。硅谷的马克斯韦尔等人甚至喊出“几何学万
岁”的口号。与会科学家和教育学家大都认为,21世纪教育的一个重
要原则是,学校传授给下一代的将不只是知识,更重要的是技能。几
何学具有较强的直观效果,有助于提高学生认识事物的能力,应当成
为自然科学教育大纲中的首选和重点内容。由美国N·Jackiw等人编制
的《几何画板》正是顺应这种需要而设计出的一种软件,它具有独到
的设计思想和强大功能,已成为探索几何学奥秘的强有力的辅助工具。
《几何画板》的精彩之处在于它是一个动态的几何学环境,利用其动
态几何功能,可以随意改变一个图形的形状,并仍保持原来的几何关
系。随着图形的拖动,已构建的几何关系变得极为直观,能更容易地
揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规律,发现几何关系将变得多么令
人兴奋!《几何画板》还提供了丰富而方便的创造功能,通过编写画
板和脚本,可以方便地验证一些新的几何猜测,随心所欲地编写出自
己需要的范例,使几何的优雅得到最为完美的表现。毫不夸张地说,
这是目前所能见到的最出色的教学软件之一,或许可以称为伟大的教
学软件。它的出现,无疑会推动几何的复兴,重新唤起人们对几何学
知识的探索热情。

  在这样的形势下,数学家单士尊先生经过艰辛的素材搜集,创作
出了《平面几何中的小花》一书,即将在2001年度出版。它通过很多
丰富的示例,把读者带入到令人眼花缭乱的几何世界中,任你随意漫
游。全书共有一百余个小标题,撷取了平面几何中若干朵小花,供大
家欣赏,其中既有我们近期遇到的问题,也有著名的经典结果。各节
之间没有特别紧密的联系,而且每节都不太长,中学生读来并不困难。

  它连同还在撰述中的《平面几何中的小草》一起,将几何学辉煌
的昨日显示给人看;它告诉我们,数学是一门博大精深的学问,学习
它的最好方法是自己去发现它;如果浅尝辄止,就不能深刻体会数学
中的乐趣所在;唯有对美的执著追求,才会把自己带入到“奇伟、瑰
怪、非常”的新境界。

  它还启示我们,为什么有必要不时地重温昔日的成就,为什么必
须对旧有的知识成果不断加以再现和整理。这是因为数学的目的,就
是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界,如果我们积累起来的
经验要一代一代传下去的话,我们就必须不断地努力地把它们加以简
化和统一。抛弃传统,就会断绝未来。继往开来,才能发扬光大。

  愿几何世界中的这些瑶草琼花迎风绽放,来点缀美丽纷芳的数学
百花园。

  最后,让我们且以本书作者单士尊先生的一首小诗来作为全文的
结尾:

  “数学花园大,几何算一家。春日兴致好,请来看小花。学海无
涯乐作舟,逍遥自在任我游。已觉此处景物好,更有好景在前头。”

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