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勾股数  

2010-03-12 18:59:32|  分类: 课外补充 |  标签: |举报 |字号 订阅

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勾股数

  勾股数又名毕氏三元数
  凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。
  ①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。
  ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。
  ③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
  设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解。
  例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。
  再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。
  观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
  1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
  2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
  掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
  例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
  用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
  用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。
  勾股数的通项公式:
  题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
  解答:
  结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
  结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
  从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
  所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
  首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
  又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
  比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
  同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
  将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
  根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
  可知a=m'*m*n
  c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
  b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
  a=m*n*m'

勾股数的常用套路

  所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
  即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
  又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
  关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
  1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
  实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
  n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
  n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
  n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
  ... ...
  这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
  2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
  也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
  n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
  n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
  n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
  n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
  ... ...
  这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
  所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
  n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
  n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
  n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
  ... ...
 
  对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充,即1个N会有多对的勾股数,例如:
  n=9时(a,b,c)=(9,24,25)or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
  n=12时(a,b,c)= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*(3,4,5)
  
  还有诸如此类的勾股数,20、21、29;
  119、120、169;
  696、697、985;
  4059、4060、5741;
  23660、23661、33461;
  137903 137904 195025
  803760 803761 1136689
  4684659 4684660 6625109
  ……
  已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。
  勾 股 数
  1. 定义:凡符合X^2+Y^2=Z^2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边,Z是斜边。
  2. 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数,例[30,40,50] 等;
  3. 无公约数的勾股数,例[3,4,5];[8,15,17]等,我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数,三个奇数不可能符合定义公式。因此,勾股数唯一的可能性是:
  X和Y分别是奇数和偶数(偶数和奇数),斜边Z只能是奇数。
  4. 勾股数具有以下特性:
  斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……,至无穷大;
  斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2,8,18,32,……,至无穷大;
  5. 由以上定义我们推导出勾股公式:
  X = P^2 + PQ (X等于P平方加PQ)
  Y = Q^2/ 2 + PQ (Y等于二分之Q方加PQ)
  Z = P^2 + Q^2 / 2 + PQ (Z等于P平方加二分之Q方加PQ)
  6. 此公式涵盖了自然界的全部勾股数,包括派生勾股数。
  7. 用此公式很容易导出全部勾股数,例如2000以内的勾股数计有320组,(不含派生勾股数)。最大的一组是 [315, 1972, 1997]
  8. 斜边是1105和1885的勾股数各有4组: 
  [47,1104,1105] [264,1073,1105] [576,943,1105] [744,817,1105];
  [427,1836,1885] [1003,1596,1885] [1643,924,1885] [1813,516,1885];
  9. 以任意奇数代入P ,任意偶数代入Q ,即可得到唯一一组勾股数。
  例如P = 5 ,Q = 8 ,得到
  X = 25 + 5×8 = 65
  Y = 32 + 5×8 = 72
  Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
  10. 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方,斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半,而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。
  11. 当P与Q有公约数时,例如9与12 ,再例如21与28等,推导出来的是派生勾股数;
  当P与Q无公约数时,例如9 与8 ,再例如21与16等,推导出来的是勾股数;
  12. 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209,90288,126225],它实际 是个派生勾股数,它是[297,304,425]乘297倍而成,它是由P = 11和Q = 16导出。
  13. 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出,但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。
  14. 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上,勾股三角形可以在更大的位置上显现。

勾股数公式及证明

  a=2mn
  b=m^2-n^2
  c=m^2+n^2
  证:
  假设a^2+b^2=c^2,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可)
  如果a,b均奇数,则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k
  等式化为4k^2 = (c+b)(c-b)
  显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾)
  作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2,显然M,N为正整数
  现在往证:(M,N)=1
  如果存在质数p,使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a,这与(a,b)=1矛盾
  所以(M,N)=1得证。
  依照算术基本定理,k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...,其中a1,a2...均为偶数,p1,p2,p3...均为质数
  如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M, pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾
  所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N,即M,N都是平方数。
  设M = m^2, N = n^2
  从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2,解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn
  目前,关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数,但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3,4,5;6,8,10;9,12,15...,就不能全部有公式计算出来。
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