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西尔维斯特–加莱定理(Sylvester–Gallai theorem)  

2009-05-30 18:59:19|  分类: 几何中著名的定理 |  标签: |举报 |字号 订阅

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有这样一个定理,不仅其表述是简单之极,就连它的证明过程也很容易理解,夸张的是:它从被提出到被证明期间,难倒了无数的数学家,总共经历了51年的时间!这个定理就是

西尔维斯特-加莱定理(Sylvester–Gallai theorem)

若在平面上有n(n是有限数且不小于3)个点,如果过任意两点的直线都必过第三点,则所有的点共线。

 证明:显然这n个点(已知点)所确定的所有直线的条数是有限的,将这些直线所组成的集合记为X,假设这n个点不共线,那么过任意一点作X的垂线,则必可以得到有线条垂线段,将所有的垂线段所组成的集合记为Y,在Y中必有最小者(可能不唯一)将其记为PD。如图:

西尔维斯特–加莱定理(Sylvester–Gallai theorem) - 2666666 - 2666666

由于X中每条直线上至少有三个已知点,故在D点同一侧至少有两个已知点A、B(其中一个可能与D点重合),过点A作PB的垂线段AC,因为PB是X中的元素,所以垂线段AC是Y中的元素,显然AC<PD,这与PD的最小性相矛盾,故假设不成立,因此满足条件的n个点在同一条直线上。

 

 

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