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西尔维斯特–加莱定理（Sylvester–Gallai theorem）

2009-05-30 18:59:19| 分类：几何中著名的定理 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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有这样一个定理，不仅其表述是简单之极，就连它的证明过程也很容易理解，夸张的是：它从被提出到被证明期间，难倒了无数的数学家，总共经历了51年的时间！这个定理就是

西尔维斯特-加莱定理（Sylvester–Gallai theorem）

若在平面上有n(n是有限数且不小于3)个点，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。

证明：显然这n个点（已知点）所确定的所有直线的条数是有限的，将这些直线所组成的集合记为X，假设这n个点不共线，那么过任意一点作X的垂线，则必可以得到有线条垂线段，将所有的垂线段所组成的集合记为Y，在Y中必有最小者（可能不唯一）将其记为PD。如图：

由于X中每条直线上至少有三个已知点，故在D点同一侧至少有两个已知点A、B（其中一个可能与D点重合），过点A作PB的垂线段AC，因为PB是X中的元素，所以垂线段AC是Y中的元素，显然AC＜PD，这与PD的最小性相矛盾，故假设不成立，因此满足条件的n个点在同一条直线上。

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