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因式分解的五个要求  

2009-12-24 16:29:25|  分类: 数学教学积累 |  标签: |举报 |字号 订阅

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把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解.根椐这一定义,因式分解的结果应该满足如下五点要求:

一、因式分解应是恒等变形.

例1 分解因式x2+2x-9.

有些同学把多项式各项都乘以3,得x2+6x-27.再分解为(x-3)(x+9).显然,该解法混淆了因式分解的恒等变形与方程的同解变形,从而得出了错误结果.正解应是:

原式=( x2+6x-27)= (x-3)(x+9)

二、从形式上看,最后结果应是一些因式的乘积    

例2  分解因式x2-9+8x

有些同学只注意到前两项运用平方差公式,得(x+3)(x-3)+8x.结果从形式上看右式不是乘积形式,显然是错误的.正解应是:

原式= x2+8x-9=(x-1)(x+9)

三、每个因式必须是整式.

例3   分解因式x4+4y4.

有些同学把它分解为x4(1+  ),分解的结果虽然是乘积形式,也是恒等变形,但由于第二个因式不是整式,所以不能算作因式分解.正确应是:

原式=x4+4x2y2+4y2-4x2y2=(x2+2y2) -4x2y2

=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).

四、必须分解到不能再分解为止.

例4   想一想,下面的分解因式彻底吗?

(x+y)2-(xy+1)2

=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)

答:不彻底,应为(x+1) (y+1) (x-1) (1-y)

值得说明的是,一个多项式能否继续分解,与指定的数集有关.例如,多项式x2-2在有理数范围内不可分解,在实数范围内则可分解成(x+)(x-). 如果题目中无特别说明,一般指在有理数范围内分解因式.

五、形式最简化,即每个多项式因式不能有同类项,相同因式应写成幂的形式.

例5分解因式:

(1)(a-b)2+2a(a-b)

 (2)(x2+3x)2-(x+3)2

 (1)式不能分解为(a-b)[(a-b)+2a],应化简为(a-b)(3a-b);(2)式不能分解为(x+3)(x+1)(x+3)(x-1),应写成(x+3)2(x+1)(x-1)

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