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完美正方形  

2018-03-15 16:16:46|  分类: 数学趣题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       完美正方形(perfect square )是一个科技术语。指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形。此概念最早由莫伦提出。完美正方形的最小阶数为21阶,边长为112,其中的阶数是指所含正方形的个数。该正方形由边长分别为2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50的21个正方形组成。如下图:

完美正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道

 
完美正方形 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 

 


探究历程:
        数学家们一度花了很大精力都无任何结果,以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想,不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形。
       莫伦对此猜想提出了挑战,并提供了一个解决思路:如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分,且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形,那么,这两个剖分再添上两个正方形(它异于两个剖分中的任何一个正方形),便可构造出一个完美正方形。而在此之前,完美矩形已经有了比较丰富的成果。
       1939年,斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形,其边长为4205。
几个月后,阶数更小(28阶)、边长更短(1015)的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来。
       1948年,威尔科克斯构造出24阶完美正方形,但其中含有一个完美矩形(此类正方形被称为混完美正方形。完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形)。一直到1978年,这个纪录才被打破。
       1967年,威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形。
       1962年,荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明:不存在20阶及以下的完美正方形。
       1978年,杜伊维斯廷借助计算机技术,成功地构造出一个21阶的完美正方形,它是唯一的,且它不仅阶数最低,同时数字也更简单,此外构造上它也有许多优美的特点,比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上,等等。杜伊维斯廷同时还证明了:低于21阶的完美正方形不存在。
       1982年,杜伊维斯廷又证明了:不存在低于24阶的混完美正方形。
       1992年,布卡姆和杜伊维斯廷给出了21~25阶全部207个纯完美正方形:
阶数 21   22   23   24   25
个数 1     8     12   26   160
       至此,完美正方形的讨论暂时画上一个句号。但数学家的研究并没有停止,他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题,此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上,也取得了许多有趣的成果。但是立方体填充被证明是没有的,即一个正方体不可能被分割成有限个大小不同的正方体。
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