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正方形的中心投影  

2016-12-26 18:26:01|  分类: 数学趣题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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        今天是初中数学最后一章《投影与视图》的教学之始,在备课过程中突然想到了matrix67大牛去年发布的一篇涉及正方形中心投影的博文:http://www.matrix67.com/blog/archives/6433,因感叹其证明之精妙,现摘录如下:
       定理:任意一个两组对边都不平行的凸四边形 ABCD 都可以看作是从某个角度观察正方形所得到的透视图。(注:还有梯形和正方形也可以看作是从某个角度观察正方形所得到的透视图,证明参见原文)
       证明:如下图,假设这个四边形的对角线 AC 和 BD 交于点 O ,再假设它的两组对边分别交于点 P 和点 Q ,如下图所示。过点 A 作平行于 PQ 的直线 l ,令 PO 、 QO 、 BD 所在直线分别与直线 l 交于 M 、 N 、 S 。现在,过直线 l 作与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 γ 。分别以 AS 、 MN 为直径,在平面 γ 上作半圆,两个半圆交于点 O0 。过 PQ 所在直线也作一个与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 π ,显然平面 π 和平面 γ 平行。反向延长 OO0 ,与平面 π 交于点 Z 。延长 ZB 、 ZC 、 ZD ,与平面 γ 交于 B0 、 C0 、 D0 。根据刚才讲到的透视图理论,如果人眼在 Z 处观察平面 γ 上的四边形 AB0C0D0 ,得到的就是四边形 ABCD 了。下面我们证明,四边形 AB0C0D0 是一个正方形。
正方形的中心投影 - 纵横之妙趣 - 数学&华容道
 

       首先注意到, Z 、 B0 、 C0 构成了一个平面,且线段 QCB 也在这个平面上。这个平面与 γ 交于 B0C0 ,与 π 交于 ZQ 。然而,平面 γ 和平面 π 是平行的,这就说明 B0C0 与 ZQ 平行。同理, AD0 也与 ZQ 平行。既然 B0C0 和 AD0 都与 ZQ 平行,因此 B0C0 与 AD0 互相之间也是平行的。

       类似地,我们可以说明 D0C0 和 AB0 都与 ZP 平行,因此 D0C0 与 AB0 互相之间也是平行的。这说明,四边形 AB0C0D0 是一个平行四边形。在透视图中, B 、 O 、 D 在一条直线上, A 、 O 、 C 也在一条直线上;因此,在实物中, B0 、 O0 、 D0 在一条直线上, A 、 O0 、 C0 也在一条直线上。这意味着, O0 是平行四边形 AB0C0D0 的中心。

线段 QON 和 ZOO0 确定了一个平面,这个平面与 γ 和 π 分别交于 NO0 和 ZQ ,再次结合 γ ∥ π 便可得出, 线段 NO0 平行于 ZQ ,从而也就平行于 B0C0 、 AD0 了。同样地,线段 MO0 平行于 ZP ,从而也平行于 D0C0 、 AB0 。然而,由于直径所对的圆周角为 90° ,因此 ∠MO0N = 90° ,即 NO0 与 MO0 垂直。这说明平行四边形 AB0C0D0 的两组对边互相之间也是垂直的,进而说明这个平行四边形实际上是一个矩形。

        最后注意到,在透视图中, O 、 B 、 S 在一条直线上,因此在实物中, O0 、 B0 、 S 也在一条直线上。由于直径所对的圆周角为 90° ,因此 ∠AO0S = 90° ,即 ∠AO0B0 = 90° 。考虑到 O0 是平行四边形 AB0C0D0 的中心,因而 ∠AO0B0 = 90° 就意味着这个平行四边形的对角线互相垂直。这说明,这个平行四边形实际上是一个菱形。

        把上面两段的结论结合起来,我们便得到了,四边形 AB0C0D0 的确是一个正方形。这表明,任何一个两组对边都不平行的凸四边形都可以看作是某个正方形的透视图。

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