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《几何原本》  

2011-09-18 11:31:12|  分类: 数学书籍推荐 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      欧几里得(Euclid,公元前330~275)是被世人尊称为“几何学之父”的古希腊的大数学家。欧几里得早年求学于雅典,曾在柏拉图(plato)学园里受过教育。约在公元前300年应托勒密一世的邀请,来到亚历山大大学从事研究和教学。欧几里得是一个敦厚的教育家,他反对投机取巧与急功近利的狭隘实用观点。有一个学生刚开始学第一个命题就问欧几里得,学了几何学能得到什么?欧几里得说:“给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利”。欧几里得治学严谨,他那句流芳百世的名言“几何无王者之道”表达了欧几里得尊重科学而不折服于权贵的学者风范;这句话后来被推广为“求知无坦途”,成为传诵千古的治学箴言。
      欧几里得在数学上作出了划时代的贡献,欧几里得的最著名的著作是《几何原本》。这本具有重大历史意义的不朽之作集当时希腊数学之大成,开公理化方法之先河,对后世数学以及其他科学产生了难以估量的影响。欧几里得的《几何原本》是数学条理化历史上的第一个重要标志,它的出现是数学史,乃至人类科学史上一座伟大的里程碑。
       在这部无与伦比的经典著作中,欧几里得精心收集了当时几何学方面的重要成果,并用高度技巧、符合逻辑要求的方法展开几何学的讨论。这是一个创新,而且是一项非常艰苦的工作,正是欧几里得的全新数学构想和创造性劳动,深刻地影响了数学的发展。
    《几何原本》从它刚刚问世起,就受到了人们的高度重视,除了基督教的《圣经》以外,没有任何其他著作,使用、研究和印行之广泛,能与《几何原本》相比;这部著作如此迅速、如此彻底地取代了从前的一切同类著作,以至于现在我们根本看不到任何更早的作品,而只有通过后世作者的评注方才知道它们曾经存在;这本最早的内容丰富的数学书为所有后代人所使用,它对日后数学及其它科学的发展的影响超过任何别的书;两千多年以来,《几何原本》一直支配着全部几何教学。
      十五世纪以前,《几何原本》以手抄本形式流传,至今这类抄本已经找不到了。现代版本最早是1482年在威尼斯印刷的(这是西方最早印刷的数学书),所依据的是公元400年左右的泰奥恩(Thon)的修订本(《几何原本》的所有英文版和拉丁文版都来源于这部希腊人的手稿),据研究,与欧几里得原著差别不大。自那时以后相继出现了一千多种版本,为广大学子所传诵,为研究数学者所必读,因而人们称《几何原本》为“数学家的圣经”。
     《几何原本》一书最初的一些完整的拉丁文译本不是译自希腊文,而是译自阿拉伯文。在八世纪,一些希腊著作的手稿在拜占庭被译成阿拉伯文;1120年,英国学者阿德拉德(Adelard)根据一个较早的阿拉伯文译本完成了一个拉丁文译本。另外两个译自阿拉伯文的拉丁文译本是分别由盖拉尔多(Gherardo,1114~1187)和比阿德拉德晚150年的坎帕努斯(Campanus)完成的。1482年,在威尼斯出版了第一个印刷本,其中包括坎帕努斯的译文。这个珍本印刷得十分精美,它是第一部正式出版的具有重要意义的数学书。1572年科曼迪诺(Commandino,1509~1575)完成了一个译自希腊文的重要的拉丁文译本。这个译本成为后来许多其他译本的根据,其中包括西姆森(Simson,1687~1768)的很有影响的译本。由西姆森的译本又产生了许多英文版本。
      著名的法国数学家勒让德(Legendre,1752~1833)对于数学教学也很关心,他改编的《几何原本》一书流传甚广。在这本书中,他大大简化和重新安排了欧几里得的命题,他想以此来改进欧几里得《几何原本》的教学。这本书在美国很受欢迎,是美国中学几何教本的原型。1819年被哈佛大学的法勒(Farrar)译成英文,后来又不断重译和修订,共有三十多个版本。
     现在最流行的标准英文本是英国人希思(Heath,1861~1940)译注的《欧几里得原本十三卷》(Thethirteen books of Euclid’sElements),总共有465个命题,和通常的印象相反,该书的许多内容讨论的不是几何学,而是初等数论和希腊代数(不过都是用几何方式来叙述)。
     第一卷首先给出了一些必要的基本定义和解释、公设和公理。欧几里得试图根据这些定义、公理和公设,以绝对严谨的方式建立起几何学知识的整个大厦。虽然目前在数学中“公理(axiom)”和“公设(postulate)”是作为两个同义词来使用的,但是某些古希腊人则认为二者是不同的,欧几里得似乎是这样来区分的:公理是适用于一切研究领域的原始假设,而公设则是只适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。第一卷所讨论的,是关于直线和由直线构成的平面图形的几何学。在第一卷的48个命题当中,包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。这一卷的最后两个命题,即命题47和48,是初等几何中最精彩、当然也是最著名和最有用的定理——勾股定理及其逆定理。勾股定理(又称毕达哥拉斯定理)是数学中第一个真正重要的定理(或许在整个数学中还找不到一个定理,其证明方法之多能超过勾股定理)。
      第二卷篇幅较小,只有14个命题,突出内容是毕达哥拉斯(pythagoras)学派对于几何代数法的贡献。这一卷的命题12和13实质上是勾股定理的推广,现在称为余弦定理。第二卷建立了许多人所共知的代数恒等式(例如)。由于没有代数符号,希腊人只能依靠几何学方法证明它们。
     第三卷有37个命题,包括关于圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理,这些定理在目前的中学平面几何课本中都能找到。这一卷的命题10指出了如何作一等腰三角形,使其每一底角均为第三角的两倍。这个命题是毕达哥拉斯学派早已知道的,他们曾利用它来作成正五边形。在使用这种方法时,要按照中末比来分割(黄金分割)一条直线。
     第四卷继续讨论圆的几何学,仅有16个命题,讨论给定的圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
     第五卷对于欧多克斯(Eudoxus)比例理论作了精彩解释。这一卷被认为是最重要的数学杰作之一,后世的评论家认为这是《几何原本》的最高的成就。第五卷详细探讨了关于比例的理论,并且把它推广到各种量,此外还证明了它既可以应用到可通约的量,也可以应用到不可通约的量。希思认为,希腊数学中没有什么更好的发现比这个理论更能令人夸耀了。
    第六卷(共33个命题)把第五卷中已经建立起来的关于比例的一般理论应用到平面图形上去,是内容较多的一卷。
      第七、八、九卷共有102个命题,讨论初等数论,即讨论关于整数和整数之比的性质。第七卷中的命题1指出,“若在两个不等数中,每当从大数中尽可能地减去小数,再从小数中尽可能地减去所得余数,又从前一余数中尽可能地减去下一个余数,如此下去,并且任何余数都不是前一余数的约数,直至达到1为止,则此二给定数互为素数。”这个命题是用归谬法来证明的,从它可以得出求不是互素的两个或三个数的最大公约数的方法,现在称为欧几里得算法,或辗转相除法,这是欧几里得的一大杰作。
       第八卷主要是研究有关连比例数的定理。该卷指出如何在两个数之间插入若干几何中项,并且证明了如果两个数与之比等于另外两个数 与 之比,且 与 之间有 个几何中项,则在与之间也有 个几何中项。
       第九卷继续讨论第八卷中的问题。在第九卷中有许多关于数论的重要定理,命题14等价于重要的算术基本定理:任何大于1的整数都能按(实质上)唯一的方法表示成一些素数之积。在命题20中,对于素数的个数是无穷的这一事实给出了一个精彩的证明。命题35用几何方法给出几何级数前项之和公式。这一卷的最后一个命题即命题36,给出了生成偶完全数的著名公式。
        第十卷(共115个命题)是很难读的一卷,讨论无理数,通常认为这一卷是欧几里得的杰作。德·摩根(DeMorgan,1808~1871)认为第十卷最为完善,远非其他各卷甚至第五卷所能比拟。该卷一开始就给可通约数与不可通约数、有理直线和无理直线等下了定义。在这些定义下,欧几里得证明了与给定直线可通约与不可通约的直线分别有无限多条,其中有些只是本身与这条给定直线可通约或不可通约,其他一些则是本身及其平方都能与这条直线通约或不可通约。命题10指出如何求出两条直线与给定的直线不可通约,其中一条仅仅是本身与它不可通约,另一条同时还与它平方不可通约。命题11则证明了,如有4个量成比例,并且第1个量与第2个量可通约,则第3个量与第4个量也可通约;若第1个量与第2个量不可通约,则第3个量与第4个量也不可通约。因此我们就有一个定理,若以代数语言来表示,这个定理就是:二次方程 的根与 能否通约,要看与能否通约。接着就是对无理直线加以精密分类,这一工作是从命题21开始的。命题21说:只能平方可通约的诸有理直线所围成的长方形是无理的,与之相等的正方形之边也是无理的。在其后的命题中,欧几里得研究了可以表为的各种可能直线,其中和表示两条可通约的直线。命题28的一个引理指出如何求两个平方数,使得它们的和也是一个平方数,另一个引理指出如何求两个平方数,使得它们的和不是平方数。
      第十一卷至第十三卷专门讨论立体几何学(但仍有一些平面几何的重要定理)。第十一卷把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上。立体角的定义是由两个以上的平面角所包围的角,这些平面角不在同一平面内,但都是从同一点作出的。由此可以证明:1.若一立体角是由三个平面角包围而成,则其中任何两个角之和大于第三角。2.构成任何一立体角的诸平面角之和小于四直角。该卷的其余部分讨论了立体图形的性质,其中有平行六面体、圆锥体、球体。后两种立体图形被定义为旋转体,因此球的定义就不是与一固定点成等距离的空间诸点的轨迹,而是使一个半圆的直径保持固定,把这个半圆绕转一周而回到其初始运动的位置时,这样描出的形状就是球。
      第十二卷中自由地使用了穷竭法。穷竭法是希腊人创造的强有力的证明方法。
     第十三卷说明了如何作出五种“球内包的”正立体,即四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体。欧几里得通过巧妙的推理过程确立了立体的边(棱)与球的半径之间的关系。
     《几何原本》不仅是世界科学史上第一本系统化、公理化的典籍,而且也是刚过去的那个时代的一本数学史。欧几里得的工作在很大程度上是集前人工作之大成,《几何原本》一书的主要贡献在于选择命题并把它们排列成一个逻辑上连贯的序列(假定从少数原始假设出发)时所表现的惊人技巧。
     欧几里得给予几何学研究的推动力,在整个公元前3世纪主要是由阿基米得(Archimedes)和阿波罗尼斯(Apollonius)保持下来的。但是,关于数论的研究却无人对它感兴趣,直到将近400年后尼科马卡斯(Nicomachus)的出现,才有了对这门学科感兴趣的人。几何学一直吸引着人们注视数学,在不到100年中,它已经上升到甚至比欧几里得所曾达到过的更高的高峰。
       从少数几个公理出发,由简到繁地推演出几百条定理,这是欧几里得最伟大的独创之处,而对公理的非常出色的选择(在这一点上,欧几里得可谓费尽心机。)和对平行公设(两千年后它导致了对数学发展极其重要的一些结果)的大胆且聪明的处理以及定理论证之精彩和严密更显示了欧几里得非凡的天才。有志于数学的人们把《几何原本》奉为必修经典,奉为“圣经”,从中汲取丰富的营养,获得莫大的教益和鼓舞。
     《几何原本》的成功是希腊数学的成功。它的影响远远地超出了数学以外,而对整个人类文明都带来巨大的影响。它对人类的贡献,不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理,更重要的是它孕育了一种理性精神。《几何原本》中大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明人了解到理性的力量,从而增强了真理追求者利用这种才能获得成功的信心。 
     《几何原本》是由元代回教徒传入中国。第一个研究《几何原本》的中国人是成吉思汗的孙子蒙哥(1206~1259)。第一个《几何原本》的中文译本是明代大学士徐光启(1562~1633)和意大利传教士利玛窦(M.Ricci,1552~1610)于1607年翻译完成,这是中国近代翻译西方数学的开始,它为中国数学与世界数学发展的主流接轨起到铺路的重要作用。
       现代数学的许多重大发展,究其根源都可以追溯到古希腊人的工作,这一点简直令人不可思议。从这个角度说来,欧几里得大师的《几何原本》值得一读!

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