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哥德巴赫猜想  

2010-03-10 18:47:15|  分类: 著名的数学猜想 |  标签: |举报 |字号 订阅

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        哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)大致可以分为两个猜想(前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想,后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想):1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和;2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

哥德巴赫介绍

  哥德巴赫(Goldbach ]C.,1690.3.18~1764.11.20)是德国数学家;出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城);曾在英国牛津大学学习;原学法学,由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣;曾担任中学教师。1725年,到了俄国,同年被选为彼得堡科学院院士;1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书;1742年,移居莫斯科,并在俄国外交部任职。

来源

  1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了一个命题。他写道:"我的问题是这样的:随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:77=53+17+7;再任取一个奇数,比如461,461=449+7+5,也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。这样,我发现:任何大于7的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。"欧拉回信说:“这个命题看来是正确的".但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题:任何一个大于6的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4.若欧拉的命题成立,则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。
  但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
  哥德巴赫猜想:1+2现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

【小史】

  1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
  从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。也没有任何实质性进展。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史(详见哥德巴赫猜想传奇词条)。
  到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:任何大于特定大偶数N的偶数都可以表示为两个殆素数之和的形式,且这两个殆素数只拥有最多9个素因子。(所谓"殆素数"就是素数因子(包括相同的与不同的)的个数不超过某一固定常数的奇整数。例如,15=3×5有2个素因子,27=3×3×3有3个素因子。)此结论被记为“9+9”。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从“9十9”开始,逐步减少每个怠素数里所含素因子的个数,直到使每个殆素数都是奇素数为止。值得注意的是,考虑到条件“大于特定大偶数N”,利用这种方法得出的结论本质上有别于哥德巴赫猜想。
  目前“最佳”的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的500000次方,即在1的后面加上500000个“0”,是一个目前无法检验的数。所以,保罗赫夫曼在《阿基米德的报复》一书中的35页写道:充分大和殆素数是个含糊不清的概念。
  ■哥德巴赫猜想研究(证明)进度相关
  在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
  1920年,挪威的布朗证明了“9 + 9”。
  1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
  1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
  1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
  1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
  1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
  1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”,其中c是一很大的自然数。
  1956年,中国的王元证明了“3 + 4”。
  1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
  1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”。
  1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
  1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
  数论书上介绍的偶数的哥德巴赫猜想定量解公式,如下: 
  ``````````p-1`````````1`````````N
  r(N)~2∏——∏(1- ————)————
  ..........P-2.......(P-1)^2..(lnN)^2
  ....P>2,P|N...P>2
  r(N)为将偶数表为两个素数之和n=p+p`的表示个数,
  ∏表示各参数连乘,ln表示取自然对数,^2表示取平方数。
  第一个∏的参数P是大于2的且属于该偶数的素因子的素数。
  第二个∏的参数P是大于2且不大于√N的素数。
  第一个∏的数值是分子大于分母,大于1。
  第二个∏的数值是孪生素数的常数,其2倍数就=1.320..大于1。
  N/(lnN)是计算N数内包含的素数的个数,(1/lnN)素数与数的比例。
  有不少人论述了:(N数内包含的素数的个数)与(素数与数的比例)的乘积 大于一。
  即:r(N)==(大于1的数)(大于1的数)(大于1的数)==大于1的数
  值得推荐的论述为
  由素数定理知:π(N)≈N/(lnN)
  π(N)≈(0.5)(N^0.5)[N^0.5]/ln(N^0.5)]==(0.5)(N^0.5)π(N^0.5),
  1/(lnN)≈π(N)/N(0.5)==(0.5)π(N^0.5)/(N^0.5)
  公式的主项==N/(lnN)^2==[(0.5)π(N^0.5)]^2
  约等于(一半的平方根内素数个数)的平方数。
  即:在{一半的平方根内素数个数**大于一时,换一句话说就是:
  第二个素数的平方数以上的偶数,公式的主项就大于1。
  数论书上介绍的奇数的哥德巴赫猜想定量解公式,如下: 
  r(N)为将奇数N表示为三个素数之和的表示法个数:
  ``````1```````````1````````````1``````N^2
  r(N)~—∏(1- ———)∏(1+————){————}
  ......2.......(P-1)^2.....(P-1)^3....(lnN)^3
  条件:..P非整除N......P整除N
  其中,符号^表示乘方,符号∏是表示含众多参数P的数的连乘积,P不同的属性就是
  条件。先算出了中间的两个连乘积的积(称为“奇异级数”)大于一。又证明了:
  r(N) > (1/4)(N^2)/(LnN)^3
  据此:证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。
  比充分大的奇数小的奇数是三个奇素数之和,至此,没看到证明。
  下面,给出证明:不小于9的每一个奇数都是三个奇素数之和。
  变换条件的方法:
  (1)前面乘(P整除N条件的)∏{1-[1/(P-1)^2]},后面除(P整除N条件的)∏{1-[1/
  (P-1)^2]},
  (2)前面的连乘积的参数的条件变成:所有奇素数,后面的连乘积成了一个分数,且其分
  子,分母的P是一样的,都是P整除N,
  (3)分子,分母同时乘以2,把最后的一项,分两份放中间.
  变换条件后的新公式如下:
  ``````2```{``````1```}{``N````}{``N`}``{```````1``````````1`````````}
  T(N)~—∏{1- ———-}{——-—}{——}∏{(1+————)(1- ———)^(-1)}
  ......4...{...(P-1)^2}{(lnN)^2}{lnN.)..{...(P-1)^3.....(lnN)^2......}
  条件:...P>2..........................P整除N
  公式中:
  2{1-[1/(P-1)^2]}{N/(lnN)^2}是N内孪生素数的个数。
  {N/lnN}是N内素数的个数。
  最后一项,分子是:一连串稍微大于一的数连乘。分母是稍微小于一的数连乘。
  分子越来越大,分母越来越更小于一,最后一项分数连乘积远大于一。
  新公式就是随素数个数,孪生素数个数同步增大的奇数哥猜的定量解:
  T(N)~(1/4){孪生素数个数}{素数个数}{与素因子有关的大于一的增加量} 。
  只要奇数内{孪生素数个数}{素数个数}的积大于4,每一个奇数都是三个奇素数之和
  。三个首个素数3的和为9,9以内的{孪生素数个数}{素数个数}的积已满足大于4的要
  求。所以,不小于9的每一个奇数都有三个奇素数之和的表达式。
  仅用素数定理,不用孪生素数,也可以证明奇数哥猜。
  由素数定理知:N内素数个数为:π(N)≈N/(lnN),
  N平方根内素数个数为:π(N^(0.5)≈N^(0.5)/[ln(N^(0.5)],
  r(N)为将奇数N表示为三个素数之和的表示法个数:
  ``````1```````````1````````````1``````N^2
  r(N)~—∏(1- ———)∏(1+————){————}
  ......2.......(P-1)^2.....(P-1)^3....(lnN)^3
  数论书上,已证明了:r(N) > (1/4)(N^2)/(LnN)^3 。
  由(1/ 4)(N^2)/(LnN)^3=(1/4)(N/LnN){N^(0.5)/[2LnN^(0.5)]}^2
  ~{[π(N)]/4}{π[N^(0.5)]/2}^2
  r(N)等于(1/4)的N内素数个数乘以{(1/2)的N平方根内素数个数为底的二次方幂}。
  已知,9以内的素数个数为4,,9的平方根为3,含有素数个数为2,
  {[π(N)]/4}{π[N^(0.5)]/2}^2==(4/4)(2/2)^2=1。
  所以,不小于9的奇数,r(N) >1成立。奇数哥猜成立。

对目前争议的一探讨

  现在互联网上关于歌德巴赫猜想的讨论,只有很少一部分是就这个问题本身,而很大一部分是对相关的人的看法,认为当年陈景润院士的成果有争议,甚至更加骇人听闻,说陈景润的成果是假的。为了拨云见日,客观公正地对待历史,就此进行探讨。
  一、陈景润与【1+2】
  一种观点认为,陈景润对【1+2】的证明过程不对。虽然互联网上信息庞杂,但是明眼人一眼就能看出,很多信息其实都是从一个地方发出的,只不过被很多人转帖了。那么,这种观点是谁提出来的?来源不外乎二个:一是《中华传奇》上一篇《歌德巴赫猜想传奇》“一。陈景润证明的不是哥德巴赫猜想
  陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第118页(辽宁教育出版社)写道:陈景润定理的“1+1”结果,通俗地讲是指:对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立:“
  N=P'+P" (A)
  N=P1+P2*P3 (B)
  当然并不排除(A)(B)同时成立的情形,例如62=43+19,62=7+5X11。”
  众所周知,哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数(A)式成立,【1+2】是指对于大于10的偶数(B)式成立,
  两者是不同的两个命题,陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈,并在申报奖项时偷换了概念(命题),陈景润也没有证明【1+2】,因为【1+2】比【1+1】难得多。”
  二是《阿基米德的报复》上的一段话。《中华传奇》是茶余饭后消遣的通俗小说杂志,《阿基米德的报复》大概是科普读物。这样两本书上的观点,却被奉为真理。首先声明,我不懂数学,但是可以肯定,陈景润的论文发表前经过多次审查,我个人认为,当时没有人有这个胆子,文革快要结束了还敢放卫星造假,更重要的是,很多人爱拿国家说事,【1+2】是得到国际公认的,陈景润后来专程出了国,还作了报告,欧美的数学家都认可的。【1+2】发表至今,还没有一个知名数学家或组织反对,数学界一致认为是正确的,但随时间推移,可能有要改进的地方。这事能造假得了吗?
  二、陈景润与歌德巴赫猜想
  还有一种观点认为,陈景润证明的不是歌德巴赫猜想,申报国家科学奖是偷换概念。认为陈景润使用错误概念,下面是内容:“
  (二)。 陈景润使用了错误的推理形式
  陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”:或者A,或者B,A,所以或者A或B,或A与B同时成立。 这是一种错误的推理形式,模棱两可,牵强附会,言之无物,什么也没有肯定,正如算命先生那样“:李大嫂分娩,或者生男孩,或者生女孩,或者同时生男又生女(多胎)”。无论如何都是对的,这种判断在认识论上称为不可证伪,而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式:或者A,或者B,非A,所以B。相容选言推理有两条规则:1,否认一部分选言肢,就必须肯定另一部分选言肢;2,肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱,缺乏基本的逻辑训练。
  (三)。 陈景润大量使用错误概念
  陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是:精确性,专义性,稳定性,系统性,可检验性。“殆素数”指很像素数,拿像与不像来论证,这是小孩的游戏。而“充分大”,陈指10的50万次方,这是不可检验的数。”
  【1+2】是不是歌德巴赫猜想?不是!因为小学生都知道,歌德巴赫猜想是指【1+1】,【1+2】只是【1+1】的推论。但是,有谁说过“陈景润证明了歌德巴赫猜想”?经查,国家科学奖上明明写着:获奖项目:歌德巴赫猜想研究。“研究”不是“证明”,“猜想”不是“定理”,意思不用我说。【1+2】和歌德巴赫猜想有关系吗?当然有!【1+2】就是“歌德巴赫猜想研究”已取得的最高成果。陈景润虽然没能摘到歌德巴赫猜想这颗明珠,但他使距离更近了一步。
  三、陈景润与媒体宣传
  据报道,著名数学家丘成桐说陈景润是被媒体夸大了,还说美国没人搞歌德巴赫猜想。丘成桐个人如何我不评价,但不管有没有人搞,歌德巴赫猜想可能现实应用性小,难度是不容质疑的,而且是重要的。那么,陈景润是不是被媒体夸大了?“
  (四)。陈景润的结论不能算定理
  陈的结论采用的是特称(某些,一些),即某些N是(A),某些N是(B),就不能算定理,因为所有严格的科学的定理,定律都是以全称(所有,一切,全部,每个)命题形式表现出来,一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系,适用于一种无穷大的类,它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论,连概念都算不上。
  (五)。陈景润的工作严重违背认识规律
  在没有找到素数普篇公式之前,哥氏猜想是无法解决的,正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清,事物质的规定性决定量的规定性。”
  (我个人认为,陈景润事迹的报道处在一个特殊的历史时期,当时国家需要树立重视科学的模范,在别的情况下也许不会这样家喻户晓。所以,的确有政治因素。但是判断历史的是非应该看它所起的作用。报道陈景润的成果是正确的,事迹是真实的,而且对当时的人们起了激励作用,所以我认为,只能说陈景润的影响被媒体“扩大”了,不是“夸大”了。
  四、结语
  质疑的人中,除了一部分是本身对歌德巴赫猜想不理解,人云亦云,一部分
  是吃不到葡萄就说葡萄酸,可能很多人被学术造假搞怕了。现在的很多“学术研究”,确实有暗箱操作,见不了阳光。正因为这样,才应该提倡陈景润这种埋头苦干、尊重科学的做法,而不是不学无术、搬弄是非。
  悲哀!实际上我们缺少的不是歌德巴赫猜想,而是陈景润。

【意义】

  一件事物之所以引起人们的兴趣,因为我们关心他,假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的快感,我们就会闭上眼睛,假如这个问题对我们的知识毫无帮助,我们就会认为它没有价值,假如这件事情不能引起正义和美感,情操和热情就无法验证。
  哥德巴赫猜想是数的一种表现次序,人们持久地爱好它,是因为如果没有这种次序,人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为无序是对美的致命伤,假如哥德巴赫猜想是错误的,它将限制我们的观察能力。使我们难以跨越一些问题并无法欣赏。一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活,就会使我们的感受趋向丑陋,引起自卑和伤感。哥德巴赫猜想实际是说,任何一个大于3的自然数n.都有一个x, 使得n+x与n-x都是素数,因为,(n+x)+(n-x)=2n.这是一种素数对自然数形式的对称,代表一种秩序,它之所以意味深长,是因为素数这种似乎杂乱无章的东西被人们用自然数n对称地串联起来,正如牧童一声口稍就把满山遍野乱跑的羊群唤在一起,它使人心晃神移,又像生物基因DNA,呈双螺旋结构绕自然数n转动,人们从玄虚的素数看到了纯朴而又充满青春的一面。对称不仅是视觉上的美学概念,它意味着对象的统一。
  素数具有一种浪漫的气质,它以神秘的魅力产生一种不定型的朦胧,相比之下,圆周率,自然对数。虚数。费肯鲍姆数就显得单纯多了,欧拉曾用一个公式把它们统一起来。而素数给人们更多的悲剧色彩,有一种神圣不可侵犯的冷漠。当哥德巴赫猜想变成定理,我们可以看到上帝的大智大慧,乘法是加法的重叠,而哥德巴赫猜想却用加法将乘性概括。在这隐晦的命题之中有着深奥的知识。它改变人们对数的看法:乘法的轮郭凭直观就可以一目了然,哥德巴赫猜想体现一种探索机能,贵贱之别是显然的,加法和乘法都是数量的堆积,但乘法是对加法的概括,加法对乘性的控制却体现了两种不同的要求,前者通过感受可以领悟,后者则要求灵感——人性和哲学。静观前者而神往于它的反面(后者),这理想的境界变成了百年的信仰和反思,反思的特殊价值在于满足了深层的好奇,是一切重大发现的精神通路,例如录音是对发音的反思结果,磁生电是对电生磁的反思结果。。。。顺思与反思是一种对称,表明一种活力与生机。顺思是自然的,反思是主动的,顺思产生经验,反思才能产生科学。顺思的内容常常是浅表的公开的,已知的。反思的内容常常是隐蔽的,未知的。反思不是简单的衷情回顾不是对经验的眷念,而是寻找事物本质的终极标准——-对历史真相或事物真相的揭示。
  哥德巴赫猜想为什么会吸引人?世界上绝对没有客观方面能打动人的事物和因素。一件事之所以会吸引人,那是因为它具有某种特质能震动观察者的感受力,感受力的大小即观察者的素质。感人的东西往往是开放的。给人以无限遐思和暗示。哥德巴赫猜想以一种表面开朗简洁的形式掩盖它阴险的本质。他周围笼罩着一种强烈的朦胧气氛。他以喜剧的方式挑逗人们开场,却无一例外以悲剧的形式谢幕。他温文尔雅地拒绝一切向她求爱的人们,让追求者争风吃醋,大打出手,自己却在一旁看着一场有一场拙劣的表演。哥氏猜想以一种抽象的美让人们想入非非,他营造一种仙境,挑起人们的欲望和野心,让那些以为有点才能的人劳苦、烦恼、愤怒中死亡。他恣意横行于人类精神的海洋,让智慧的小船难以驾驭,让科研的‘泰坦尼克’一次又一次沉没。。。
  人类的精神威信建立在科学对迷信和无知的胜利之上,人类的群体的精神健康依赖于一种自信,只有自信才能导入完美的信念使理想进入未来中,完美的信念使人生的辛劳和痛苦得以减轻,这样任何惊心动魄的灾难,荡气回肠的悲怆都难以摧毁人的信念,只有感到无能时,信念才会土崩瓦解。肉体在空虚的灵魂诱导之下融入畜类,人类在失败中引发自卑。哥德巴赫猜想的哲学意义正在如此。
  时代在等待名垂千古的英雄。
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